Feigenbaum. Сложное поведение простой модели.

Pixilang по русски
Post Reply
User avatar
iHs
Posts: 26
Joined: Sat Jan 13, 2018 11:02 pm

Feigenbaum. Сложное поведение простой модели.

Post by iHs » Fri Sep 20, 2019 10:45 pm

Эта программа явилась результатом небольшого эксперимента. Что будет, если заставить звучать логистическую последовательность?
Возьмём ряд чисел от 0 до 1, каждое из которых вычисляется из предыдущего по формуле:
Image, где r - константа от 0 до 4.
К чему будет стремиться ряд при разных значениях r?
При r <= 3 последовательность быстро сходится к некоторому числу, это можно даже проверить вручную на калькуляторе.
Но если r становится чуть больше 3, то этот предел внезапно исчезает и вместо него появляется цикл из двух чередующихся значений. Данное явление называется бифуркацией. Если направить вывод последовательности в звуковой тракт, то мы услышим звуковые колебания высокого тона.
При r, превышающем Image, происходит следующая бифуркация, и цикл с периодом 2 переходит в цикл с периодом 4. У исходного тона появляется субгармоника — тон, звучащий на октаву ниже. Стоит заметить, что формирование субгармоники — неочевидное и редко наблюдаемое в реальности физическое явление — легко моделируется простой формулой.
При увеличении r каскад бифуркаций приводит к бесконечному удвоению периода и хаосу, который воспринимается как шум. Но посреди хаоса возникает бесконечное множество "островков" с самыми разнообразными периодами - шум перемежается с регулярными колебаниями.

При запуске программы в левой части окна появляется "живая" бифуркационная диаграмма - по горизонтали отложены значения r, по вертикали - Image. Справа - график соотношения Image и члены ряда. Внизу - слайдер, нажатием на который можно регулировать константу r: грубая настройка - ближе к краям, точная настройка - ближе к центру слайдера. При этом прокручивается диаграмма, обновляется график и меняется характер звука.
Удачного исследования!
Attachments
Feigenbaum.pixi
(4.73 KiB) Downloaded 20 times

fairplay
Posts: 7
Joined: Thu Jul 30, 2015 8:12 pm

Re: Feigenbaum. Сложное поведение простой модели.

Post by fairplay » Tue Oct 15, 2019 11:58 am

Отлично вышло!

Использование логистической модели (да и других хаотических отображений) при генерации звука -- это богатая тема.

Возможно вам будет интересно и сподвигнет на продолжение работ в этом направлении: вот здесь -- https://www.mathematica-journal.com/201 ... ng-sounds/ -- описан механизм генерации "скрежещущих" звуков с использованием той же модели.

Я делал плагины на JSFX для DAW Reaper, которые используют этот метод, звучит так https://soundcloud.com/fairplay/logistic-map-scratching

Примерно, как автор статьи и говорит, подобный звук хорошо использовать в качестве exciter при физическом моделировании звука.

Post Reply